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第3题

给定直角三角形 ABCABC,斜边 BCBC 长为 aa,将其分成 nn 个相等部分,其中 nn 为奇数。中间部分在 AA 处所对的角为 α\alpha。若 AA 到 BCBC 的垂距为 hh,证明 tan⁡α=4nha(n2−1)\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)}。
第 5/5 步：化简得到所需恒等式
上一步下一步
tan⁡α=ah/na2/4−a2/(4n2)=4nha(n2−1)\tan\alpha=\frac{a h/n}{a^2/4-a^2/(4n^2)}=\frac{4nh}{a(n^2-1)}
角度示例:在等腰直角三角形例 a=2,h=1,n=3a=2,h=1,n=3 中,公式给出 tan⁡α=3/4\tan\alpha=3/4。
单位圆示意图显示36.87度角,作为最终正切恒等式的数值例。
详细分析

将 PQ=a/nPQ=a/n、AH=hAH=h、第3步的乘积以及 h2+MH2=a2/4h^2+MH^2=a^2/4 代入第2步。分母化为 a2/4−a2/(4n2)=a2(n2−1)/(4n2)a^2/4-a^2/(4n^2)=a^2(n^2-1)/(4n^2),故 tan⁡α=4nh/[a(n2−1)]\tan\alpha=4nh/[a(n^2-1)]。