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第4题

在三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 内取一点 PP。设 Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 分别为 PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 与对边的交点。证明三个比 PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} 中有一个不大于 22,且有一个不小于 22。
第 3/5 步:利用三个比的平均值
min⁡iri≤13≤max⁡iri\min_i r_i\le\frac13\le\max_i r_i
详细分析

三个和为 11 的正数不可能全都大于 1/31/3,也不可能全都小于 1/31/3。所以存在 ri≤1/3r_i\le1/3 及 rj≥1/3r_j\ge1/3。