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第5题

证明 cos⁡π7−cos⁡2π7+cos⁡3π7=12\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12。
第 1/5 步:使用七次单位根
1+ω+ω2+⋯+ω6=0,ω=cis⁡2π71+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^6=0,\qquad\omega=\operatorname{cis}\frac{2\pi}{7}
详细分析

令 ω=cis⁡(2π/7)\omega=\operatorname{cis}(2\pi/7)。则 1,ω,…,ω61,\omega,\ldots,\omega^6 是七个七次单位根,其和为零。