第3题

证明:正四面体各顶点到其外接球球心的距离之和,小于这些顶点到空间中任意其他一点的距离之和。

第 1/6 步：聚焦一对对棱

通俗地说

任何到 $C$ 、 $D$ 等距的顶点必然落在 $CD$ 的垂直平分面上;正是这一几何事实支撑了后续整个证明。

AC=AD,\ BC=BD \ \Rightarrow\ A,B\in\Pi

正四面体

ABCD

详细分析

设 $ABCD$ 为正四面体, $X$ 为棱 $CD$ 的中点。由 $AC=AD$ 及 $BC=BD$ 可知, $A$ 与 $B$ 都在 $CD$ 的垂直平分面 $\Pi$ 上,而该平面过点 $X$ 。