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第3题

证明:正四面体各顶点到其外接球球心的距离之和,小于这些顶点到空间中任意其他一点的距离之和。
第 4/6 步:把四个距离不等式相加
通俗地说

仅凭一个垂直平分面,就足以排除其外的所有点作为最小值候选点。

PA+PB+PC+PD≥P′A+P′B+P′C+P′DPA+PB+PC+PD \ge P'A+P'B+P'C+P'D
详细分析

把第2、3步的不等式相加,可知用 PP 在 Π\Pi 上的投影 P′P' 代替 P,到四个顶点的距离总和绝不会增大,等号当且仅当 P∈ΠP\in\Pi。