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第6题

在三角形 ABCABC 的边 ABAB、BCBC、CACA 内部分别取点 MM、KK、LL。证明三个三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK 中至少有一个的面积小于或等于三角形 ABCABC 面积的四分之一。
第 1/7 步：参数化三条边上的三个点
上一步下一步
通俗地说

使用比值后,三角形 ABCABC 的形状和大小都被消去;三个面积分数只取决于 M,K,LM,K,L 的相对位置。

p=AMAB,q=BKBC,r=CLCA,0<p,q,r<1p=\frac{AM}{AB},\quad q=\frac{BK}{BC},\quad r=\frac{CL}{CA},\quad 0<p,q,r<1
详细分析

设 p=AMABp=\frac{AM}{AB}、q=BKBCq=\frac{BK}{BC}、r=CLCAr=\frac{CL}{CA}。由于三点都在边的内部,故 0<p,q,r<10<p,q,r<1,且互补比为 BMAB=1−p\frac{BM}{AB}=1-p、CKBC=1−q\frac{CK}{BC}=1-q、ALCA=1−r\frac{AL}{CA}=1-r。