MathLabs

第5题

设 a1,…,a8a_1,\ldots,a_8 为不全为零的实数,并令 cn=a1n+⋯+a8nc_n=a_1^n+\cdots+a_8^n (n=1,2,…n=1,2,\ldots)。若有无穷多个 cnc_n 等于 0,求使 cn=0c_n=0 的所有 nn。
第 6/7 步：确定所有为零的指标
上一步下一步
cn>0 for even n,cn=0 for odd nc_n>0\text{ for even }n,\quad c_n=0\text{ for odd }n
详细分析

当 nn 为偶数时每个非零相反数对贡献 2xjn>02x_j^n>0,因不全为零故 cn>0c_n>0。当 nn 为奇数时每对相消。因此恰好所有正奇数满足 cn=0c_n=0。