MathLabs

第6题

记 [x][x] 为不超过 xx 的最大整数。若 nn 为正整数,求 [n+12]+[n+24]+[n+48]+⋯[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots 关于 nn 的表达式。
第 1/5 步：使用基本取整恒等式
上一步下一步
[x]=[x2]+[x+12][x]=\left[\frac x2\right]+\left[\frac{x+1}{2}\right]
详细分析

写成 x=2q+rx=2q+r,其中 qq 为整数且 0≤r<20\le r<2。分别检查 0≤r<10\le r<1 与 1≤r<21\le r<2 即得恒等式。