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第1题

设点MM在三角形ABCABC的边ABAB上。设r1,r2,rr_1,r_2,r分别为三角形AMCAMC、BMCBMC、ABCABC的内切圆半径；设q1,q2,qq_1,q_2,q分别为这些三角形位于角∠ACB\angle ACB内的旁切圆半径。证明r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rq。
第 5/5 步：利用MM处的补角
上一步下一步
通俗地说

两角组成平角，所以半角因子相互抵消。

tan⁡∠AMC2tan⁡∠BMC2=1\tan\frac{\angle AMC}{2}\tan\frac{\angle BMC}{2}=1
详细分析

由于A,M,BA,M,B共线，∠AMC+∠BMC=π\angle AMC+\angle BMC=\pi。两半角互余，正切互为倒数。因此乘积为r1q1r2q2=tan⁡A2tan⁡B2=rq\frac{r_1}{q_1}\frac{r_2}{q_2}=\tan\frac A2\tan\frac B2=\frac rq。