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第5题

在四面体 ABCDABCD 中，∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ。从 DD 到平面 ABCABC 的垂足 HH 是 △ABC\triangle ABC 三条高的交点。证明 (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2)，并求等号成立的四面体。
第 1/4 步：利用正交心引入 E
上一步下一步
E=CH∩AB,AB⊥ED,BC2−BD2=CE2−DE2E=CH\cap AB,\quad AB\perp ED,\quad BC^2-BD^2=CE^2-DE^2
展示正交心构造的四面体
三维四面体图，展示从D到面ABC的垂足以及三条高的交点。
详细分析

令 E=CH∩ABE=CH\cap AB。平面 CDE 与 ABC 垂直，且 ABAB 垂直于它们的交线 CECE，因此 AB⊥AB\perp 平面 CDECDE，特别地 AB⊥EDAB\perp ED。所以 BD2=DE2+BE2BD^2=DE^2+BE^2 且 BC2=CE2+BE2BC^2=CE^2+BE^2，从而 BC2−BD2=CE2−DE2BC^2-BD^2=CE^2-DE^2。