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第6题

平面上有 100100 个点，任意三点不共线。考虑顶点取自这些点的所有三角形。证明其中锐角三角形不超过 70%70\%。
第 4/4 步：将计数结果化为所需百分比
上一步下一步
7(1005)(972)=710(1003)\frac{7\binom{100}{5}}{\binom{97}{2}}=\frac7{10}\binom{100}{3}
详细分析

利用 (1005)/(972)=(1003)/10\binom{100}{5}/\binom{97}{2}=\binom{100}{3}/10，前一不等式得 A100≤(7/10)(1003)A_{100}\le(7/10)\binom{100}{3}。由于 (1003)\binom{100}{3} 是三角形总数，故锐角三角形至多占 70%70\%。