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第4题

四面体 ABCDABCD 的所有面都是锐角三角形。考虑闭折线 XYZTXXYZTX，其中 XX 在 ABAB 内部，Y,Z,TY,Z,T 分别在 BC,CD,DABC,CD,DA 内部。证明：(a) 若 ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC，则不存在达到最小长度的路径；(b) 若 ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC，则存在无穷多条最短路径，其共同长度为 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2)，其中 α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB。
第 1/5 步：将路径展开为平面线段
上一步下一步
XYZTX⟼XYZTX′XYZTX\longmapsto XYZTX'
详细分析

依次绕 BCBC、CDCD 和 AD′AD' 旋转各面，使相关面共面。路径 XYZTXXYZTX 变为连接 X∈ABX\in AB 与其像 X′∈A′B′X'\in A'B' 的平面连续路径 XYZTX′XYZTX'。固定端点时最短路径是直线段。