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第6题

设 A=(aij)A=(a_{ij})(i,j=1,2,…,ni,j=1,2,\ldots,n)是元素为非负整数的方阵。假设只要 aij=0a_{ij}=0,第 ii 行与第 jj 列元素之和就至少为 nn。证明矩阵所有元素之和至少为 n2/2n^2/2。
第 4/7 步:对角零使用题设条件
2X+Y≥kn2X+Y\ge kn
详细分析

对每个 i≤ki\le k,零元素 aiia_{ii} 使其行和加列和至少为 nn。将这 kk 个不等式相加,左上分块被计算两次,非对角分块被计算一次,故 2X+Y≥kn2X+Y\ge kn。