第4题

将

4444^{4444}

用十进制表示,其各位数字之和为

A

。设

B

为

A

的各位数字之和。求

B

的各位数字之和。(

A

、

B

均用十进制表示。)

第 1/6 步：估计

4444^{4444}

的位数

上一步下一步

通俗地说

追踪 $4444^{4444}$ 的精确值是不可能的(它有数万位数字),因此诀窍在于根本不去计算它:先估计其数字和可能有多大,再估计该数的数字和,最后利用数字和始终遵循的模9算术来确定最终的数字和。

4444^{4444} < 10000^{4444} = 10^{17776}

详细分析

由于 $4444 < 10000 = 10^4$ ,取 $4444$ 次方得 $4444^{4444} < (10^4)^{4444} = 10^{17776}$ 。小于 $10^{17776}$ 的正整数至多有 $17776$ 位数字,每位数字至多为 $9$ ,故其数字和 $A$ 满足 $A \le 9 \cdot 17776 = 159984$ 。