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第5题

设 a,ba,b 为正整数。将 a2+b2a^2+b^2 除以 a+ba+b,商为 qq,余数为 rr。求满足 (a,b)(a,b) 的所有 q2+r=1977q^2+r=1977。
第 3/4 步:配方
a2+b2=44(a+b)+41⟹(a−22)2+(b−22)2=1009a^2+b^2=44(a+b)+41\Longrightarrow(a-22)^2+(b-22)^2=1009
详细分析

将 q=44,r=41q=44,r=41 代入除法等式并配方,得到 (a−22)2+(b−22)2=1009(a-22)^2+(b-22)^2=1009。检查不超过 10091009 的整数平方,除顺序外只有 1009=152+2821009=15^2+28^2。