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国际数学奥林匹克
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1979年
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第5题
第5题
求所有实数
a
a
a
，使存在非负实数
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
x_1,x_2,x_3,x_4,x_5
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
满足
∑
k
=
1
5
k
x
k
=
a
\sum_{k=1}^5kx_k=a
∑
k
=
1
5
k
x
k
=
a
、
∑
k
=
1
5
k
3
x
k
=
a
2
\sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2
∑
k
=
1
5
k
3
x
k
=
a
2
、
∑
k
=
1
5
k
5
x
k
=
a
3
\sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3
∑
k
=
1
5
k
5
x
k
=
a
3
。
第 2/4 步：利用非负性
上一步
下一步
∑
k
=
1
5
k
(
a
−
k
2
)
2
x
k
=
0
\sum_{k=1}^5 k(a-k^2)^2x_k=0
k
=
1
∑
5
k
(
a
−
k
2
)
2
x
k
=
0
详细分析
每一项都非负，因为 k 为正且 x_k 非负。总和为0，所以每一项都必须为0。
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