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第3题

考虑由正实数组成的无穷数列 {xn}\{x_n\}，满足 x0=1x_0=1 以及 x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots。(a) 证明：对每个这样的数列，都存在某个 n≥1n\ge1，使得 Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999。(b) 求出一个这样的数列，使得对所有 nn 都有 Sn<4S_n<4。
第 4/4 步：构造 (b) 的数列
上一步下一步
通俗地说

公比 1/21/2 使各项为 2,1,1/2,…2,1,1/2,\ldots,逼近但永不达到 44。

xi=2−i⟹Sn=2+1+12+⋯+22−n=4−22−n<4x_i=2^{-i}\quad\Longrightarrow\quad S_n=2+1+\frac12+\cdots+2^{2-n}=4-2^{2-n}<4
详细分析

该数列为正且非增并满足 x0=1x_0=1。直接代入得到所示等比和,它总小于 44。