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第6题

设 SS 是边长为 100100 的正方形。设 LL 是位于 SS 内部的简单闭合折线，不自交，由线段 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n 构成，且 A0=AnA_0=A_n。假设 SS 的边界上的每一点 PP 到 LL 上某一点的距离都不超过 1/21/2。证明 LL 上存在两点 X,YX,Y，其距离不超过 11，而 LL 在 XX 和 YY 之间的某一段长度至少为 198198。
第 1/5 步：定义接近边界
上一步下一步
通俗地说

折线靠近整个边界半个单位以内,因此它接近各角的顺序包含拓扑信息。

Call P′ approached if some P∈L satisfies PP′≤12\text{Call }P'\text{ approached if some }P\in L\text{ satisfies }PP'\le\frac12
详细分析

若边界点 P′P' 被 LL 上的某点以不超过 1/21/2 的距离接近，则称其被接近。由题设，每个边界点都被接近，因此四个顶点以及边界上的每个子线段上的点也都被接近。