MathLabs

第3题

给定平面上的两点 OO 和 AA，平面上每一点都被涂成有限种颜色之一。对点 XX，令 C(X)C(X) 为圆心 OO、半径 OX+∠AOXOXOX+\frac{\angle AOX}{OX} 的圆，其中 ∠AOX\angle AOX 用弧度在 [0,2π)\left[0,2\pi\right) 中表示。证明存在一个不在 OAOA 上的点 XX，使得 XX 的颜色也出现在圆 C(X)C(X) 的圆周上。
第 1/6 步：选择嵌套半径
上一步下一步
通俗地说

半径不断增加但始终有界，因此总能留下足够的角度空间来编码后面的圆。

an=2−n−1,ri=∑t=1iat,(∑n≥1an)2<2πa_n=2^{-n-1},\quad r_i=\sum_{t=1}^{i}a_t,\quad \left(\sum_{n\ge1}a_n\right)^2<2\pi
参考射线 OA 与一个示例极角。
标出参考方向 OA 和角度的单位圆。
详细分析

取一个正数序列，使其总和的平方小于 2π2\pi，例如上面的等比序列。令以 OO 为圆心、半径为 rir_i 的圆为 Ci\mathcal C_i。