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第3题

给定平面上的两点 OO 和 AA，平面上每一点都被涂成有限种颜色之一。对点 XX，令 C(X)C(X) 为圆心 OO、半径 OX+∠AOXOXOX+\frac{\angle AOX}{OX} 的圆，其中 ∠AOX\angle AOX 用弧度在 [0,2π)\left[0,2\pi\right) 中表示。证明存在一个不在 OAOA 上的点 XX，使得 XX 的颜色也出现在圆 C(X)C(X) 的圆周上。
第 6/6 步：耗尽所有颜色
上一步下一步
通俗地说

有限的颜色供应不可能支持无穷多个新禁色；矛盾因此迫使所求的颜色匹配出现。

c1,…,cn all forbidden on one infinite family of circles ⇒ contradictionc_1,\ldots,c_n\text{ all forbidden on one infinite family of circles}\ \Rightarrow\ \text{contradiction}
详细分析

若可用颜色共有 nn 种，经过 n 次归纳后，剩余无限族中的某个圆上不能出现这 nn 种颜色中的任何一种。但平面上每一点必有这 n 种颜色之一，矛盾。因此反设不成立，所求的不在 OA 上的点必存在。