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第5题

设 nn 是大于或等于 33 的整数。证明:平面上存在一个含 nn 个点的集合,使任意两点间的距离都是无理数,且任意三点确定一个面积为有理数的非退化三角形。
第 5/5 步：整点顶点给出有理面积
上一步下一步
通俗地说

整坐标使鞋带公式中的和为整数;除以二后仍只能得到有理数。

2[ABC]=∣det⁡(x1x121x2x221x3x321)∣∈Z2[ABC]=\left|\det\begin{pmatrix}x_1&x_1^2&1\\x_2&x_2^2&1\\x_3&x_3^2&1\end{pmatrix}\right|\in\mathbb Z
详细分析

对任意三点 (xj,xj2)(x_j,x_j^2),鞋带公式中的行列式所有元素都是整数。因此有向面积的两倍是整数,面积是半整数,从而是有理数。结合第4步,任意三点都确定一个面积为有理数的非退化三角形。