MathLabs

第4题

证明不等式 ∑k=170kx−k≥54\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac{5}{4} 的解集是若干互不相交区间的并，且这些区间的总长度为 19881988。
第 2/4 步：确定最后一个区间
上一步下一步
r70>70,f(r70)=54r_{70}>70,\qquad f(r_{70})=\frac{5}{4}
详细分析

当 x<1x<1 时所有项均为负，不等式不成立。在 (70,+∞)(70,+\infty) 上，ff 从 +∞+\infty 递减到 00，所以存在唯一 r70>70r_{70}>70 使 f(r70)=5/4f(r_{70})=5/4。故解集恰为 1≤n≤701\le n\le70 时各 (n,rn](n,r_n] 的互不相交并。