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第5题

ABCABC 是在 AA 处直角的三角形，ADAD 是斜边上的高。连接 ABDABD 与 ACDACD 的内心，该直线分别与 AB,ACAB,AC 交于 K,LK,L。若 SS 和 TT 分别是 ABCABC 和 AKLAKL 的面积，证明 S≥2TS\ge2T。
第 4/4 步：使用斜边中点
上一步下一步
AM=BC2≥AD⟹BC≥2AD⟹S≥2TAM=\frac{BC}{2}\ge AD\quad\Longrightarrow\quad BC\ge2AD\quad\Longrightarrow\quad S\ge2T
详细分析

令 M 为 BC 的中点。在直角三角形 ADM 中，AM 是斜边，故 AM≥ADAM\ge AD。由于 BC=2AMBC=2AM，得到 BC≥2ADBC\ge2AD，于是 S=[ABC]≥2[AKL]=2TS=[ABC]\ge2[AKL]=2T。当 D=M，即 AB=AC 时取等号。