MathLabs

第2题

设 ABCABC 为锐角三角形。角 AA 的内角平分线与三角形 ABCABC 的外接圆的另一个交点为 A1A_1;点 B1B_1、C1C_1 类似定义。设 A0A_0 为直线 AA1AA_1 与角 BB、角 CC 的外角平分线的交点;点 B0B_0、C0C_0 类似定义。证明三角形 A0B0C0A_0B_0C_0 的面积恰好是六边形 AC1BA1CB1AC_1BA_1CB_1 面积的两倍,并且不小于三角形 ABCABC 面积的四倍。
第 6/6 步：相加三个不等式
上一步下一步
通俗地说

垂心把锐角三角形分割开;三个反射比较说明六边形面积至少是 ABCABC 的两倍。

[ABC]≤[BCA1]+[CAB1]+[ABC1]=[AC1BA1CB1]−[ABC][ABC]\le[BCA_1]+[CAB_1]+[ABC_1]=[AC_1BA_1CB_1]-[ABC]
详细分析

循环应用第五步。由于 ABCABC 为锐角三角形,HH 在其内部且 [ABC]=[BCH]+[CAH]+[ABH][ABC]=[BCH]+[CAH]+[ABH]。因此 [ABC]≤[BCA1]+[CAB1]+[ABC1][ABC]\le[BCA_1]+[CAB_1]+[ABC_1]。右边三个面积正好是六边形向外伸出的三个“帽子”,它们的和为 [AC1BA1CB1]−[ABC][AC_1BA_1CB_1]-[ABC]。于是 2[ABC]≤[AC1BA1CB1]=12[A0B0C0]2[ABC]\le[AC_1BA_1CB_1]=\tfrac12[A_0B_0C_0],从而得到 [A0B0C0]≥4[ABC][A_0B_0C_0]\ge4[ABC].