第6题

若集合

\{1,2,\ldots,2n\}

的排列

(x_1,x_2,\ldots,x_{2n})

满足对于至少一个

i\in\{1,\ldots,2n-1\}

有

|x_i-x_{i+1}|=n

，就称其具有性质

P

。证明对每个正整数

n

，具有性质

P

的排列多于不具有该性质的排列。

第 1/5 步：用事件表示性质P

上一步下一步

通俗地说

每种差为 $n$ 的相邻关系是一个事件,性质 $P$ 是它们的并集。

A_k=\{\pi: k\text{ and }k+n\text{ are adjacent}\},\qquad P=\bigcup_{k=1}^{n}A_k

详细分析

对 $1\le k\le n$ ,令 $A_k$ 为数字 $k$ 与 $k+n$ 占据相邻位置的排列集合。具有性质 $P$ 就是属于至少一个这样的集合,所以所求排列组成 $A=\bigcup_{k=1}^n A_k$ .