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国际数学奥林匹克
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1990年
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第4题
第4题
构造函数
f
:
Q
+
→
Q
+
f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+
f
:
Q
+
→
Q
+
，使任意正有理数
f
(
x
f
(
y
)
)
=
f
(
x
)
/
y
f(xf(y))=f(x)/y
f
(
x
f
(
y
))
=
f
(
x
)
/
y
都满足
x
,
y
x,y
x
,
y
。
第 3/5 步：推出倒数关系
上一步
下一步
f
(
f
(
x
)
)
=
1
x
f(f(x))=\frac1x
f
(
f
(
x
))
=
x
1
详细分析
在原方程中取 x=1 并用 f(1)=1：
f
(
f
(
x
)
)
=
f
(
1
)
/
x
=
1
x
f(f(x))=f(1)/x=\frac1x
f
(
f
(
x
))
=
f
(
1
)
/
x
=
x
1
。
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