MathLabs

第4题

构造函数 f:Q+→Q+f:\mathbb Q^+\to\mathbb Q^+，使任意正有理数 f(xf(y))=f(x)/yf(xf(y))=f(x)/y 都满足 x,yx,y。
第 4/5 步：在配对质数上定义函数
上一步下一步
f(pi)=qi,f(qi)=1pif(p_i)=q_i,\qquad f(q_i)=\frac1{p_i}
详细分析

把质数分成两个无限集合 S={p1,p2,…}S=\{p_1,p_2,\ldots\} 与 T={q1,q2,…}T=\{q_1,q_2,\ldots\}。定义 f(pi)=qif(p_i)=q_i、f(qi)=1pif(q_i)=\frac1{p_i}，再利用唯一质因数分解按乘法扩展到所有正有理数。