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第5题

设ABC为三角形,X为其内部一点。证明角XAB、XBC、XCA中至少有一个不超过30度。
第 2/4 步：得到乘积恒等式与单调性
上一步下一步
∏cycsin⁡(A−α)sin⁡α=1,fA(t)=sin⁡(A−t)sin⁡t=sin⁡Acot⁡t−cos⁡A\prod_{cyc}\frac{\sin(A-\alpha)}{\sin\alpha}=1,\qquad f_A(t)=\frac{\sin(A-t)}{\sin t}=\sin A\cot t-\cos A
详细分析

将三个距离等式相乘并约去AX·BX·CX,得到循环乘积sin(A−alpha)/sin(alpha)等于1。固定A时,f_A(t)=sin(A−t)/sin(t)=sin(A)cot(t)−cos(A)在有效范围内严格递减。