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第3题

在无限棋盘上，开始时将 n2n^2 个棋子放在一个 nn 行 nn 列的方块中，每格一个。一步棋是水平或竖直跳过相邻的有子方格到紧接其后的空格，并移除被跳过的棋子。求能使最后只剩一个棋子的所有 nn。
第 4/4 步：迭代缩减
上一步下一步
通俗地说

局部模块把模分类转化为全局构造。

n=1,2(mod3)⟹one piece remainsn=1,2\pmod3\Longrightarrow\text{one piece remains}
详细分析

把 n×n 方块分成连续的宽 3 条带以及宽 1 或 2 的余块，交替沿两个方向使用条带引理。n 同余 1 时余块是 1×1 终端；同余 2 的余块也可由双向模块缩减到该终端。因此所有不被 3 整除的 n 都可行；结合不变量，答案恰为不被 3 整除的 n。