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第5题

令 SS 为所有大于 −1-1 的实数集合。求所有函数 f:S→Sf:S\to S，使任意 x,y∈Sx,y\in S 都有 f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)，且 f(x)x\frac{f(x)}{x} 在区间 −1<x<0-1<x<0 和 0<x0<x 上分别严格递增。
第 1/4 步：传播固定点
上一步下一步
通俗地说

把固定点代入两个变量会产生另一个固定点。

f(a)=a⟹f(2a+a2)=2a+a2f(a)=a\Longrightarrow f(2a+a^2)=2a+a^2
详细分析

若 f(a)=af(a)=a，在函数方程中令 x=y=ax=y=a。两边说明 b=2a+a2b=2a+a^2 也是固定点，即 f(b)=bf(b)=b。当 −1<a<0-1<a<0 时 −1<b<a-1<b<a；当 a>0a>0 时 b>ab>a。