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第6题

确定 least possible value 的 f(1998) f(1998), 其中 f:N→N f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} 是a 函数 使得 对所有 m,n∈N m,n\in\mathbb{N}, f(n2f(m))=m(f(n))2. f\left(n^{2}f(m)\right)=m\left(f(n)\right)^{2}.
第 6/6 步：Minimize target value
上一步下一步
通俗地说

Pair largest exponent 满足smallest available 素数.

1998=2⋅33⋅37,f(1998)≥3⋅23⋅5=1201998=2\cdot3^3\cdot37,\qquad f(1998)\ge3\cdot2^3\cdot5=120
详细分析

To minimize weighted 积 under a 素数 involution, pair 22 满足 33 且pair 3737 满足smallest remaining 素数 55. Th是gives f(2)=3 f(2)=3, f(3)=2 f(3)=2, f(37)=5 f(37)=5 译文：, so f(1998)=3⋅23⋅5=120 f(1998)=3\cdot2^3\cdot5=120. Any other pairing assigns a larger available 素数 到one 的weights 且can不improve 积. 故 least possible value 是 120120.