MathLabs

第2题

设 n≥2 n\ge2 be a fixed 整数. (a) Find least 常数 C C 使得 对所有 nonnegative 实数 x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) 确定 when equality occurs 对于th是value 的 C C .
第 3/5 步：使用 AM–GM
上一步下一步
通俗地说

The total 和 expands as Q+2R Q+2R .

(Q+2R)2≥8QR(Q+2R)^2\ge8QR
详细分析

译文：By Q+2R=(∑ixi)2 Q+2R=\left(\sum_i x_i\right)^2 且 Q,2R≥0 Q,2R\ge0 译文：, AM–GM gives (Q+2R)2≥4Q(2R)=8QR(Q+2R)^2\ge4Q(2R)=8QR . 所以 left side 是在most (∑ixi)4/8(\sum_i x_i)^4/8.