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第5题

设 aa 与 bb 为正整数。证明：若 4ab−14ab-1 整除 (4a2−1)2(4a^2-1)^2，则 a=ba=b。
第 1/3 步：定义坏对并证明当x < y时的收缩性质
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通俗地说

模 4x4x 下，4xy−14xy-1 与 4x2−14x^2-1 都等于 −1-1，因此商 rr 也满足 −1(mod4x)-1 \pmod{4x}，并且当 x<yx < y 时小于 4x2−14x^2-1。

r=(4x2−1)24xy−1≡−1(mod4x)  ⟹  r=4xz−1 with 1≤z<xr = \frac{(4x^2-1)^2}{4xy-1} \equiv -1 \pmod{4x} \implies r = 4xz-1 \text{ with } 1 \le z < x
详细分析

称正整数对 (x,y)(x,y) 为坏对，若 4xy−1∣(4x2−1)24xy-1 \mid (4x^2-1)^2 且 x≠yx \ne y。设 (x,y)(x,y) 为坏对且 x<yx < y，令 r=(4x2−1)24xy−1r = \dfrac{(4x^2-1)^2}{4xy-1}。由于 r(4xy−1)=(4x2−1)2≡1(mod4x)r(4xy-1) = (4x^2-1)^2 \equiv 1 \pmod{4x} 且 4xy−1≡−1(mod4x)4xy-1 \equiv -1 \pmod{4x}，故 r≡−1(mod4x)r \equiv -1 \pmod{4x}，于是存在正整数 zz 使 r=4xz−1r = 4xz-1。因为 x<yx < y，有 4xz−1=(4x2−1)24xy−1<(4x2−1)24x2−1=4x2−14xz-1 = \dfrac{(4x^2-1)^2}{4xy-1} < \dfrac{(4x^2-1)^2}{4x^2-1} = 4x^2-1，从而 z<xz < x；又因 4xz−1=r4xz-1 = r 整除 (4x2−1)2(4x^2-1)^2 且 z<xz < x，故数对 (x,z)(x,z) 也是坏对。