第1题

求所有满足对任意实数

x,y

都有

f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor

的函数

f:\mathbb R\to\mathbb R

。

第 3/6 步：按一点处的值划分原点为零的分支

通俗地说

在输入为一时的同一个方程只留下零值或整数部分为一的值。

f(1)=f(1)\lfloor f(1)\rfloor\quad\Longrightarrow\quad f(1)=0\ \text{or}\ 1\le f(1)<2

详细分析

现在假设 $f(0)=0$ 。取 $x=y=1$ 得 $f(1)=f(1)\lfloor f(1)\rfloor$ 。因此或者 $f(1)=0$ ，或者 $\lfloor f(1)\rfloor=1$ ，等价于 $1\le f(1)<2$ 。