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国际数学奥林匹克
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2012年
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第2题
第2题
设
n
≥
3
n\ge3
n
≥
3
为整数，正实数
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
a_2,a_3,\dots,a_n
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
满足
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
a_2a_3\cdots a_n=1
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
。证明
(
1
+
a
2
)
2
(
1
+
a
3
)
3
⋯
(
1
+
a
n
)
n
>
n
n
(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n
(
1
+
a
2
)
2
(
1
+
a
3
)
3
⋯
(
1
+
a
n
)
n
>
n
n
。
第 1/4 步：使用乘积条件
上一步
下一步
通俗地说
乘积条件会让变量因子在相乘时消去。
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
a_2a_3\cdots a_n=1
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
详细分析
已知
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
a_2a_3\cdots a_n=1
a
2
a
3
⋯
a
n
=
1
且所有
a
i
>
0
a_i>0
a
i
>
0
。
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