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第2题

求所有正整数三元组 (a,b,c)(a,b,c)，使得 ab−cab-c、bc−abc-a、ca−bca-b 这三个数都是 22 的幂（22 的幂是指形如 2n2^n 的整数，其中 nn 为非负整数）。
第 8/8 步：汇总并检验解
上一步下一步
通俗地说

a=2a=2 与 3≤a<b≤c3\le a<b\le c 两种情形穷尽了排序后的可能性，再由对称性恢复所有置换。

(a,b,c)∈{(2,2,2),(2,2,3),(2,6,11),(3,5,7)} up to permutation(a,b,c)\in\{(2,2,2),(2,2,3),(2,6,11),(3,5,7)\}\ \text{up to permutation}
详细分析

初步步骤排除了 a=1a=1 和 a=b≥3a=b\ge3。因此排序后的解恰为 (2,2,2)(2,2,2)、(2,2,3)(2,2,3)、(2,6,11)(2,6,11) 和 (3,5,7)(3,5,7)。直接代入时，三个值依次为 (2,2,2)(2,2,2)、(1,4,4)(1,4,4)、(1,16,64)(1,16,64) 和 (8,16,32)(8,16,32)，全都是 22 的幂。由第一步的对称性，这些三元组及其置换就是全部答案。