MathLabs

第4题

设 RR、SS 是圆 Ω\Omega 上的两个不同点，且 RSRS 不是直径。设 ℓ\ell 是 Ω\Omega 在 RR 处的切线。取点 TT 使 SS 为线段 RTRT 的中点。在 Ω\Omega 的短弧 RSRS 上取点 JJ，使三角形 JSTJST 的外接圆 Γ\Gamma 与 ℓ\ell 交于两个不同的点。设 Γ\Gamma 与 ℓ\ell 的交点中较靠近 RR 的一个为 AA。直线 AJAJ 再次交 Ω\Omega 于 KK。证明直线 KTKT 是 Γ\Gamma 的切线。
第 6/6 步：用切弦定理结束证明
上一步下一步
∠KTA=∠TSA⟹KT is tangent to Γ at T\angle KTA=\angle TSA\Longrightarrow KT\text{ is tangent to }\Gamma\text{ at }T
详细分析

KT 与弦 TA 所成的角等于 Gamma 中所对同一条弦 TA 的圆周角。由切弦定理的逆定理，KT 是 Gamma 在 T 处的切线，证毕。