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第6题

若整数有序对 (x,y)(x,y) 满足 gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1，则称其为本原点。给定本原点的有限集 SS，证明存在正整数 nn 及整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n，使得对每个 (x,y)∈S(x,y)\in S 都有 a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1。
第 6/8 步：构造修正后的多项式
上一步下一步
通俗地说

第一项保持旧值，含乘积的修正项在那里为零。

Q(x,y)=P(x,y)U+C(ax+by)V∏i=1k−1(yix−xiy)Q(x,y)=P(x,y)^U+C(ax+by)^V\prod_{i=1}^{k-1}(y_ix-x_iy)
详细分析

由 P(xk,yk)U≡1(mod∣D∣)P(x_k,y_k)^U\equiv1\pmod{|D|}，C=(1−P(xk,yk)U)/DC=(1-P(x_k,y_k)^U)/D 是整数。定义 Q(x,y)=P(x,y)U+C(ax+by)V∏i=1k−1(yix−xiy)Q(x,y)=P(x,y)^U+C(ax+by)^V\prod_{i=1}^{k-1}(y_ix-x_iy)。两项都为 nU 次齐次式，因此 Q 具有整系数且次数为正。