第5题

设

a_1,a_2,\ldots

是一个正整数无限序列。假设存在整数

N>1

，使得对每个

n\ge N

，数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

都是整数。证明存在正整数

M

，使得对所有

m\ge M

都有

a_m=a_{m+1}

第 6/8 步：

a_1

的每个素因子都稳定

p\mid a_1\Longrightarrow v_p(a_n)\text{ is eventually constant}

详细分析

前两种情形覆盖所有 $p\mid a_1$ 。所以对每个这样的素数， $v_p(a_n)$ 最终恒定。 $a_1$ 的素因子只有有限个，因而存在一个公共下标，此后所有这些赋值都固定。