MathLabs

第4题

求出所有正整数对 (k,n)(k,n)，使得 k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).
第 2/6 步：计算乘积的二进赋值
上一步下一步
Ln=20+1+⋯+(n−1)∏i=0n−1(2n−i−1),v2(Ln)=n(n−1)2L_n=2^{0+1+\cdots+(n-1)}\prod_{i=0}^{n-1}(2^{n-i}-1),\qquad v_2(L_n)=\frac{n(n-1)}2
详细分析

从第 ii 个因子中提出 2i2^i：2n−2i=2i(2n−i−1)2^n-2^i=2^i(2^{n-i}-1)。剩余因子全为奇数，因此 v2(Ln)=0+1+⋯+(n−1)=n(n−1)/2v_2(L_n)=0+1+\cdots+(n-1)=n(n-1)/2。