第5题

Bath 银行发行一面为、另一面为的硬币。Harry 有枚这样的硬币，从左到右排成一列。他反复进行如下操作：若恰有枚硬币显示，就翻转从左数第枚硬币；否则所有硬币都显示，他便停止。例如当且从开始时，过程为，三次操作后停止。(a) 证明对每个初始配置，Harry 都会在有限次操作后停止。(b) 对每个初始配置，令为停止前的操作次数。求所有个初始配置的的平均值。

H

T

n

k>0

H

k

T

n=3

THT

THT\to HHT\to HTT\to TTT

C

L(C)

L(C)

2^n

第 1/6 步：定义期望值

上一步下一步

通俗地说

同时证明终止性并计算平均值。

E_n=\mathbb E[L(C)]

详细分析

令表示枚硬币时操作次数的平均值。对归纳。时两种配置分别需要次操作，所以过程终止且。 $E_n$ $n$ $n$ $n=1$ $T$ $H$ $0$ $1$ $E_1=\frac12$