第5题

Bath 银行发行一面为、另一面为的硬币。Harry 有枚这样的硬币，从左到右排成一列。他反复进行如下操作：若恰有枚硬币显示，就翻转从左数第枚硬币；否则所有硬币都显示，他便停止。例如当且从开始时，过程为，三次操作后停止。(a) 证明对每个初始配置，Harry 都会在有限次操作后停止。(b) 对每个初始配置，令为停止前的操作次数。求所有个初始配置的的平均值。

H

T

n

k>0

H

k

T

n=3

THT

THT\to HHT\to HTT\to TTT

C

L(C)

L(C)

2^n

第 5/6 步：平均两个分支

上一步下一步

通俗地说

最后一枚为的概率相同。

E_n=\frac12E_{n-1}+\frac12(E_{n-1}+n)=E_{n-1}+\frac n2

详细分析

个配置恰有一半以结尾、一半以结尾。前两种情形证明所有配置都终止，并得到。 $2^n$ $T$ $H$ $E_n=\frac12E_{n-1}+\frac12(E_{n-1}+n)=E_{n-1}+\frac n2$