第5题

给定一副

n>1

张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些

n

，能推出牌上的数字全部相等？

第 2/8 步：每对牌具有相同奇偶性

通俗地说

两张牌的平均值不可能是半整数。

x_{ij}=\frac{a_i+a_j}{2}\in\mathbb Z

详细分析

对每一对牌，算术平均等于几何平均。它是整数的正整数次根，故由步骤1它是整数。因此每对都有 $a_i+a_j$ 为偶数，所有牌具有相同奇偶性。