第5题

给定一副

n>1

张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些

n

，能推出牌上的数字全部相等？

第 3/8 步：按最大公约数归一化

通俗地说

缩放不改变假设或结论。

d=\gcd(a_1,\ldots,a_n),\qquad b_i=\frac{a_i}{d}

详细分析

每张牌除以 $d$ 不改变性质，因为算术平均和几何平均都按 $d$ 的比例缩放。可设 $\gcd(a_1,\ldots,a_n)=1$ 。由步骤2，所有牌都是奇数。