第5题

给定一副

n>1

张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些

n

，能推出牌上的数字全部相等？

第 6/8 步：关键平均值不被 p 整除

通俗地说

平均值严格大于最大的 p-自由牌。

x=\frac{M+a_k}{2},\qquad a_k<x<M,\qquad p\nmid x

详细分析

$M$ 和 $a_k$ 都是奇数，所以由步骤2， $x$ 是整数且 $x>a_k$ 。若 $p\mid x$ ，则 $p\mid2x=M+a_k$ ；由于 $p\mid M$ 且 $p$ 为奇数，这将推出 $p\mid a_k$ ，矛盾。