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第6题

设 m≥2m\ge2 为整数，AA 是（不必为正）整数的有限集合，B1,B2,B3,…,BmB_1,B_2,B_3,\ldots,B_m 是 AA 的子集。假设对每个 k=1,2,…,mk=1,2,\ldots,m，BkB_k 中元素之和为 mkm^k。证明 AA 至少含有 m/2m/2 个元素。
第 1/6 步：把 mm 的倍数写成 mm 进制
上一步下一步
通俗地说

小于 mm+1m^{m+1} 的 mm 的倍数除以 mm 的商恰好能用 mm 个 mm 进制数字表示。

X=∑i=1mcimi,ci∈{0,1,…,m−1}X=\sum_{i=1}^m c_i m^i,\quad c_i\in\{0,1,\ldots,m-1\}
详细分析

若 0≤X<mm+10\le X<m^{m+1} 是 mm 的倍数，则 X/m<mmX/m<m^m，故 X/mX/m 的 mm 进制展开至多有 mm 位，得到 X=∑i=1mcimiX=\sum_{i=1}^m c_im^i，其中每个数字 ci∈{0,1,…,m−1}c_i\in\{0,1,\ldots,m-1\}。