大问题

古代

1. 公元前450年
   尺规三等分角问题几何学, 代数学. 1837年由皮埃尔·万策尔证明在一般情形下不可能实现：三等分 $60^\circ$ 角需要作出 $\cos(20^\circ)$，但它在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式 $8x^3 - 6x - 1 = 0$ 的次数为 $3$，不是 $2$ 的幂。已解决
2. 公元前450年
   化圆为方几何学, 代数学. 用圆规和直尺化圆为方是不可能的，因为 $\pi$ 是超越数。费迪费迪南德·冯·林德曼, 1882
3. 公元前430年
   倍立方问题几何学, 代数学. 自古被称为“得洛斯问题”的尺规倍立方问题，于1837年被皮埃尔·万策尔证明为不可能，因为 $\sqrt[3]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的代数次数为 $3$，不是 $2$ 的幂。已解决
4. 公元前300年
   可尺规作图的正多边形（高斯-万策尔定理）几何学, 代数学. 由高斯-万策尔定理（1796–1837年），正 $n$ 边形可尺规作图的充要条件是 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ 为 $2$ 的幂与互不相同的费马素数 $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$ 的乘积。卡尔卡尔·弗里德里希·高斯, 1837

近代早期

1. 1611
   开普勒猜想几何学. 在空间中堆放等大球体的最密方式，正是人们熟悉的炮弹堆法，其密度为 $\pi/\sqrt{18}$。希尔伯特 #18托马托马斯·黑尔斯, 1998
2. 1637
   费马大定理算术与数论. 满足 $x^n + y^n = z^n$ 的三个正整数对任意整数指数 $n > 2$ 均不存在——由费马于1637年左右提出，安德鲁·怀尔斯（与理查德·泰勒合作）于1994至1995年间通过半稳定椭圆曲线的模性予以证明。安德安德鲁·怀尔斯, 1994
3. 1650
   巴塞尔问题分析学. $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ 的和等于 $\pi^2/6$。莱昂莱昂哈德·欧拉, 1735

18世纪

1. 1736
   哥尼斯堡七桥问题组合数学与离散数学. 这样的路线不存在:对应的图中有四个奇数度的顶点。莱昂莱昂哈德·欧拉, 1736
2. 1770
   五次方程不可解性代数学. 与二次、三次、四次求根公式不同，没有任何根式公式能求解一般的五次方程——伽罗瓦理论完整地解释了这一事实。尼尔尼尔斯·亨利克·阿贝尔, 1824
3. 1770
   华林问题算术与数论. 每个自然数都是 $4$ 个平方数、$9$ 个立方数、$19$ 个四次方数等之和：由爱德华·华林于1770年提出猜想，大卫·希尔伯特于1909年证明了对每个指数 $k$ 有限界 $g(k)$ 均存在，从而解决了该问题。大卫大卫·希尔伯特, 1909

19世纪

1. 1844
   卡塔兰猜想算术与数论. 8和9是正整数完全幂中唯一相邻的一对；卡塔兰于1844年提出猜想，米哈伊列斯库于2002年证明。普雷普雷达·米哈伊列斯库, 2002
2. 1852
   四色定理组合数学与离散数学. 任何平面地图（或无自环平面图 $G$）都可以用至多 $4$ 种颜色着色（$\chi(G) \le 4$）——由弗朗西斯·格思里于1852年提出，肯尼思·阿佩尔与沃尔夫冈·哈肯于1976年借助计算机完成证明，1997年得到简化，并于2005年由乔治·贡蒂埃在Coq中完成形式化验证。肯尼肯尼斯·阿佩尔, 1976

20世纪

1. 1900
   希尔伯特第七问题算术与数论. 1934年由亚历山大·格尔丰德与特奥多尔·施奈德各自独立证明:只要 $\alpha \ne 0, 1$ 是代数数且 $\beta$ 是代数无理数,$\alpha^\beta$ 就是超越数——一举解决了希尔伯特提出的两个典型例子 $2^{\sqrt{2}}$ 与 $e^\pi = (-1)^{-i}$。希尔伯特 #7已解决
2. 1900
   希尔伯特第十问题数学基础, 算术与数论. 一般而言，不存在算法能判定丢番图方程是否有整数解——希尔伯特第十问题的答案是否定的。希尔伯特 #10尤里尤里·马季亚谢维奇, 1970
3. 1900
   希尔伯特第三问题几何学. 任意两个面积相等的多边形都可以切割成有限块并重新拼成彼此,但马克斯·德恩于1900年证明三维情形并不成立:体积相等的立方体与正四面体在 $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ 中具有不同的德恩不变量,永远无法相互剪拼转化。希尔伯特 #3已解决
4. 1900
   8维与24维空间中的球堆积问题几何学. $\mathbb{R}^8$ 中的 $E_8$ 格与 $\mathbb{R}^{24}$ 中的利奇格 $\Lambda_{24}$ 在所有周期及非周期排列中达到了最高球堆积密度；2016年3月由玛丽娜·维亚佐夫斯卡（$n=8$）以及科恩、库马尔、米勒、拉德琴科与维亚佐夫斯卡（$n=24$）解决。已解决
5. 1904
   庞加莱猜想拓扑学, 几何学. 每个单连通闭 $3$ 维流形都同胚于 $3$ 维球面 $S^3$——由亨利·庞加莱于1904年提出，格里戈里·佩雷尔曼于2002至2003年间利用带手术的里奇流予以证明，是克雷千禧年大奖难题中唯一已获解决的问题。千禧年格里格里戈里·佩雷尔曼, 2003
6. 1916
   比伯巴赫猜想分析学. 开单位圆盘上的每个归一化单叶全纯函数 $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$ 对所有 $n \ge 2$ 均满足 $|a_n| \le n$（德布朗热定理）。已解决
7. 1932
   埃尔德什偏差问题组合数学与离散数学, 算术与数论. 任何无穷 $\pm 1$ 序列在某个齐次等差数列 $d, 2d, \dots, nd$ 上的部分和都可以任意大；2015年由陶哲轩证明。埃尔德什陶哲陶哲轩, 2015
8. 1933
   博苏克分割问题几何学. 博苏克1933年提出“$\mathbb{R}^n$ 中任意有界集均可分为 $n+1$ 个直径更小的部分”的猜想，虽然对 $n \le 3$ 成立，但于1993年被杰夫·卡恩和吉尔·卡莱在高维情形推翻，目前已构造出低至 $n = 64$ 的反例（以及2026年关于 $n = 63$ 的预印本）。已被证伪
9. 1959
   卡迪森-辛格问题分析学. 对角子代数 $\ell^\infty(\mathbb{N})$ 上的每个纯态都能唯一延拓为 $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ 上的纯态，于2013年借助交错多项式族获证。已解决
10. 1960
    凯尔瓦尔不变量1问题拓扑学. 凯尔瓦尔不变量为1的光滑闭标架流形存在于维数 $2, 6, 14, 30, 62$ 以及（据2024年预印本）$126$，而在更高维数中均不存在。已解决
11. 1960
    佐藤–泰特猜想算术与数论. 当素数 $p$ 变化时，无复乘法椭圆曲线的点数 $\#E(\mathbb{F}_p)$ 如何在 $p + 1$ 附近波动？该猜想由佐藤干夫与约翰·泰特于1960年前后独立提出，断言归一化弗罗贝尼乌斯角服从 $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$ 分布，最终在2008年至2011年间由克洛泽尔、哈里斯、谢泼德-巴伦、泰勒、巴内特-兰姆和格拉蒂完全解决。已解决
12. 1963
    洛伦兹吸引子的存在性微分方程与动力系统. 证明经典洛伦兹微分方程组确实拥有稳健的混沌奇异吸引子，由沃里克·塔克通过严格的计算机辅助证明解决了斯梅尔第14问题。斯梅尔 #14已解决
13. 1963
    林格尔猜想（优美分解）组合数学与离散数学. 任意具有 $n$ 条边的树都能以边不相交的方式在完全图 $K_{2n+1}$ 中恰好装入 $2n+1$ 个副本；2020年由蒙哥马利、波克罗夫斯基和苏达科夫对所有充分大的 $n$ 给出了证明。已解决
14. 1966
    爱因斯坦问题（非周期单砖）几何学. 2023年获肯定解决：大卫·史密斯、约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯、克雷格·S·卡普兰和哈伊姆·古德曼-施特劳斯发现了13边形“帽子”（hat）多鸢形砖以及严格手性的“幽灵”（Spectre）单砖。已解决
15. 1968
    虚拟哈肯猜想拓扑学. 每个具有无限基本群的闭不可约三维流形都有一个包含嵌入不可压缩曲面的有限叶覆盖。已解决
16. 1972
    埃尔德什–费伯–洛瓦兹猜想组合数学与离散数学. 两两至多共享一个顶点的 $n$ 个 $n$ 阶团的并图是否总能用 $n$ 种颜色进行正常顶点染色？该猜想由保罗·埃尔德什、万斯·费伯与拉斯洛·洛瓦兹于1972年提出，姜东烨（Dong Yeap Kang）、汤姆·凯利、丹妮拉·库恩、阿比舍克·梅图库与德雷克·奥斯特胡斯于2021年对所有充分大的 $n$ 给出了证明（2023年发表于 Annals of Mathematics）；小规模情形 $n \le 12$ 已由计算机验证，仅剩中间有限范围内的 $n$ 尚未完全敲定。埃尔德什已解决
17. 1985
    双层床猜想组合数学与离散数学, 概率与统计. 在由竖直支柱连接的两个相同叠层图上的渗流模型中，同层连通的概率是否总是至少与跨层连通的概率一样大？由卡斯特莱因于1985年提出，2024年被格拉德科夫、帕克和齐明推翻。已被证伪
18. 1987
    朗兰兹纲领的基本引理算术与数论, 代数学. 基本引理是约化群与其内窥群之间轨道积分的一个组合恒等式,由朗兰兹(Robert Langlands)和谢尔斯塔德(Diana Shelstad)提出猜想。它是稳定阿瑟-塞尔伯格迹公式(联系不同群上自守表示的主要工具)所缺的最后一块。吴宝珠(Ngô Bảo Châu)将该恒等式重新诠释为关于希钦纤维化上同调的几何命题,从而在一般情形下证明了它。吴宝吴宝珠, 2008
19. 1992
    敏感度猜想组合数学与离散数学, 应用与计算数学. 布尔函数的敏感度 $s(f)$ 是否与其块敏感度、多项式次数及决策树深度多项式相关？该问题由诺姆·尼桑和马里奥·塞格迪于1992年提出，并由戈茨曼和利尼亚尔化归为超立方体导出子图问题，最终由黄皓在2019年以两页纸的精妙证明解决，证明了 $Q_n$ 的任意 $(2^{n-1} + 1)$ 顶点导出子图满足 $\Delta(H) \ge \sqrt{n}$。已解决
20. 1995
    帽集问题（Cap set 问题）组合数学与离散数学. $\mathbb{F}_3^n$ 中不含仿射直线的子集最大能有多大？2016年，埃伦伯格和海斯维特推广了克鲁特、列夫与帕赫的多项式方法，证明了指数上界 $r_3(\mathbb{F}_3^n) = O(2.756^n)$，从而解决了这一问题。已解决