第3問

平面上の点

O

と

A

を固定し、平面の各点を有限個の色のいずれかで塗る。点

X

に対し、

C(X)

を中心

O

、半径

OX+\frac{\angle AOX}{OX}

の円とする。ただし

\angle AOX

はラジアンで

\left[0,2\pi\right)

の範囲で測る。

OA

上にない点

X

で、

X

の色が円

C(X)

の円周上にも現れるものが存在することを示せ。

ステップ 1/6: 入れ子になる半径を選ぶ

ざっくり言うと

半径は増え続けるが有界なので、後の円をすべて符号化するのに十分な角度の余地が残る。

a_n=2^{-n-1},\quad r_i=\sum_{t=1}^{i}a_t,\quad \left(\sum_{n\ge1}a_n\right)^2<2\pi

基準光線 OA と極角の例。

詳しい解説

全体の和の平方が $2\pi$ 未満となる正数列を、例えば表示した等比数列として取る。中心 $O$ 、半径 $r_i$ の円を $\mathcal C_i$ と呼ぶ。