第3問

平面上の点

O

と

A

を固定し、平面の各点を有限個の色のいずれかで塗る。点

X

に対し、

C(X)

を中心

O

、半径

OX+\frac{\angle AOX}{OX}

の円とする。ただし

\angle AOX

はラジアンで

\left[0,2\pi\right)

の範囲で測る。

OA

上にない点

X

で、

X

の色が円

C(X)

の円周上にも現れるものが存在することを示せ。

ステップ 2/6: 角度で後の円を符号化する

ざっくり言うと

角度のずれは現在の半径を掛けた後の半径増分にちょうど等しく選ぶ。

\theta_{i,j}=r_i(r_{i+j}-r_i),\quad 0<\theta_{i,j}<2\pi

詳しい解説

$\mathcal C_i$ 上で $OA$ からの角が $\theta_{i,j}$ となる点を $x_{i,j}$ とする。全体の和の評価により $\theta_{i,j}<2\pi$ であり、半径の定義から $C(x_{i,j})=\mathcal C_{i+j}$ となる。