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国際数学オリンピック
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1984年
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第6問
第6問
奇整数 a,b,c,d が
0
<
a
<
b
<
c
<
d
0<a<b<c<d
0
<
a
<
b
<
c
<
d
と
a
d
=
b
c
ad=bc
a
d
=
b
c
を満たすとする。
a
+
d
=
2
k
a+d=2^k
a
+
d
=
2
k
、
b
+
c
=
2
m
b+c=2^m
b
+
c
=
2
m
ならば
a
=
1
a=1
a
=
1
を証明せよ。
ステップ 5/6: 第5段階
前のステップ
次のステップ
b
=
2
m
−
1
−
a
,
c
=
2
m
−
1
+
a
,
d
=
2
k
−
a
b=2^{m-1}-a,\quad c=2^{m-1}+a,\quad d=2^k-a
b
=
2
m
−
1
−
a
,
c
=
2
m
−
1
+
a
,
d
=
2
k
−
a
詳しい解説
二つの和の式から
b
=
2
m
−
1
−
a
b=2^{m-1}-a
b
=
2
m
−
1
−
a
、
c
=
2
m
−
1
+
a
c=2^{m-1}+a
c
=
2
m
−
1
+
a
、
d
=
2
k
−
a
d=2^k-a
d
=
2
k
−
a
を得る。
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